1
Vorzeichen beim Ausmultiplizieren einer Klammer mit negativer Zahl

So sieht es aus. In der Gleichung 2x − 3(4 − x) = 8 wird die Klammer als −12 − 3x ausmultipliziert, obwohl richtig −12 + 3x herauskommt. Das Vorzeichen vor der Klammer gilt nämlich für jedes Glied darin, auch für das, das schon ein Minus hat.

So vermeidest du es. Multipliziere jedes Glied in der Klammer einzeln und notiere gleich das entstehende Vorzeichen: −3 · 4 = −12 und −3 · (−x) = +3x. Daraus ergibt sich 2x − 12 + 3x = 8, also x = 4.
2
Nur eine Seite der Gleichung multiplizieren, oder ein Glied ohne Bruch vergessen

So sieht es aus. In der Gleichung x2 + 3 = 5 multiplizierst du den Bruch mit zwei, lässt die 3 aber unverändert: x + 3 = 10. Es kommt x = 7 heraus, aber die Probe bestätigt das nicht: 72 + 3 = 6,5, nicht 5.

So vermeidest du es. Multipliziere die ganze Gleichung, also jedes Glied auf beiden Seiten: 2 · (x2 + 3) = 2 · 5, daraus x + 6 = 10 und x = 4. Es hilft, die ganze Seite in Klammern zu setzen, bevor du sie multiplizierst.
3
Fehlende Bedingung bei der Unbekannten im Nenner

So sieht es aus. Die Gleichung xx − 2 = 2x − 2 ergibt nach dem Wegmultiplizieren des Nenners x = 2. Für x = 2 ist der Nenner aber null, und mit einem Bruch mit Null im Nenner kann man nicht rechnen, also hat diese Gleichung keine Lösung.

So vermeidest du es. Schreib dir schon vor den Umformungen auf, was x nicht sein darf (hier x ≠ 2), und vergleiche das Ergebnis am Ende mit dieser Bedingung. Ein Ergebnis, das die Bedingung verletzt, verwirfst du.
4
Division durch einen Ausdruck, der null sein kann (bei einem Parameter)

So sieht es aus. In der Gleichung x(p + 2) = p + 2 teilst du beide Seiten durch p + 2 und erhältst x = 1. Für p = −2 ist aber p + 2 = 0, und durch null teilen geht nicht: Die Gleichung wird zu 0 · x = 0, was für jedes x gilt.

So vermeidest du es. Bevor du durch einen Ausdruck mit einem Parameter teilst, frag dich, ob er null werden kann. Wenn ja, löse diesen Fall (hier p = −2) getrennt, und für die übrigen Werte des Parameters kannst du dann teilen.
5
x bei einer Textaufgabe berechnet, aber die Frage nicht beantwortet

So sieht es aus. Die Aufgabe: „Der Vater ist 3-mal so alt wie der Sohn. Zusammen sind sie 48 Jahre alt. Wie alt ist der Vater?“ Du bezeichnest das Alter des Sohnes mit x, und aus der Gleichung x + 3x = 48 ergibt sich x = 12. Das ist aber noch nicht die Antwort, denn 12 Jahre ist das Alter des Sohnes, nicht des Vaters.

So vermeidest du es. Schreib dir am Anfang auf, wofür x steht, und geh am Ende zur Frage zurück und beantworte sie in einem ganzen Satz: Der Vater ist 3 · 12 = 36 Jahre alt. Probe: 12 + 36 = 48.

Häufig gestellte Fragen

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt, also ohne x², ohne Wurzel aus x und Ähnliches. Nach den Umformungen lässt sie sich als ax + b = 0 schreiben, wobei a eine von null verschiedene Zahl ist. Zum Beispiel ist 3x + 5 = 14 eine lineare Gleichung und x² = 9 nicht.

Wie löst man eine lineare Gleichung?

Das Vorgehen hat fünf Schritte: Brüche entfernen, Klammern ausmultiplizieren, Glieder mit der Unbekannten auf eine Seite und Zahlen auf die andere bringen, durch die Zahl vor der Unbekannten teilen und das Ergebnis durch Einsetzen überprüfen. Bei der Gleichung 3x + 5 = 14 bringst du zum Beispiel die 5 auf die rechte Seite (3x = 9), teilst durch drei (x = 3) und prüfst: 3 · 3 + 5 = 14.

Woran erkenne ich, dass ich die Gleichung richtig gelöst habe?

Durch die Probe. Setze das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung ein, nicht in die umgeformte, und berechne beide Seiten getrennt. Kommt auf beiden Seiten dieselbe Zahl heraus, stimmt das Ergebnis. Bei der Gleichung 7x + 3 = 2x + 13 ergibt sich x = 2: Die linke Seite ist 7 · 2 + 3 = 17 und die rechte 2 · 2 + 13 = 17.

Was, wenn die Gleichung keine Lösung hat oder unendlich viele?

Manchmal verschwindet die Unbekannte bei den Umformungen. Bleibt eine falsche Aussage übrig, hat die Gleichung keine Lösung: Aus 2x + 1 = 2x + 3 wird 1 = 3. Bleibt eine wahre Aussage übrig, gilt die Gleichung für jede Zahl: Aus 2(x + 1) = 2x + 2 wird 0 = 0. Auch |x − 2| = −1 hat keine Lösung, weil ein Absolutbetrag nie negativ ist.

Ab welcher Klasse werden lineare Gleichungen unterrichtet?

Die Grundlagen linearer Gleichungen werden meist in der Sekundarstufe I behandelt, die genaue Klassenstufe hängt vom Lehrplan der jeweiligen Schule ab. Anspruchsvollere Typen, etwa Gleichungssysteme oder Gleichungen mit Parameter, kommen später.

Was ist der Unterschied zwischen einer linearen Gleichung und einem System linearer Gleichungen?

Eine lineare Gleichung hat eine Unbekannte, und du suchst eine Zahl. Ein System hat meist zwei Unbekannte, x und y, und zwei Gleichungen, die gleichzeitig gelten müssen, also suchst du ein Zahlenpaar. Das System x + y = 10 und x − y = 2 hat die Lösung x = 6 und y = 4.

Lineare Gleichungen: Beispiele mit Lösung und Übungen online

Grundlegende lineare Gleichungen

Lineare Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen mit der Unbekannten im Nenner

Systeme linearer Gleichungen

Textaufgaben mit linearen Gleichungen

Gleichungen mit Absolutbetrag

Gleichungen mit Parameter

Lineare Gleichungen aus Aufnahmeprüfungen

Für Lehrkräfte: Lineare Gleichungen Arbeitsblatt zum Herunterladen als PDF

So löst du lineare Gleichungen — die Methode in fünf Schritten

Brüche entfernen

Klammern ausmultiplizieren

Glieder umstellen

Teilen

Durch Einsetzen prüfen

Die häufigsten Fehler beim Lösen linearer Gleichungen

Vorzeichen beim Ausmultiplizieren einer Klammer mit negativer Zahl

Nur eine Seite der Gleichung multiplizieren, oder ein Glied ohne Bruch vergessen

Fehlende Bedingung bei der Unbekannten im Nenner

Division durch einen Ausdruck, der null sein kann (bei einem Parameter)

x bei einer Textaufgabe berechnet, aber die Frage nicht beantwortet

Häufig gestellte Fragen

Verwandte Themen